Geometrie et Dynamique des Mouvements

Conférence donnée au Colloque «La reconquête de la dynamique par la géométrie après Lagrange»

IHES 24—26 Mars 2010

Géométrie et Dynamique des Mouvements

"Puisque la nature est principe de mouvement et de changement, et que notre recherche porte sur la nature, ce qu’est le mouvement ne doit pas nous échapper". C'est en ces termes qu'Aristote introduit son analyse du mouvement, qui le conduira à objectiver le temps et l'espace et en faire les catégories essentielles de la mécanique pendant les siècles qui suivront. Plus tard, Bruno et Galilée lui disputeront l'espace comme catégorie impérative. En attendant, Maïmonide lui a déjà disputé la nature éternelle du temps, détachée du mouvement des choses. Il faudra attendre Poincaré et Einstein pour que l'intuition de Maïmonide soit confirmée par l'observation et l'expérience, et consolidée par la théorie. Il ne reste donc au mécanicien que le mouvement nu, dépouillé de catégories accessoires, comme objet de son étude. En introduisant la méthode de la variation des constantes, Lagrange a commencé à élaborer les outils mathématiques qui permettront ensuite de travailler sur l'espace des mouvements en tant que tels. C'est la genèse de la mécanique symplectique et le développement significatif des outils analytiques qui l'accompagnent.
Se débarrassant des figures on a pu croire à la disparition de la géométrie en mécanique, mais la structure dévoilée par Lagrange introduit un objet inattendu qui n'apparaitra que plus tard dans son identité propre, le groupe des transformations canoniques, ou groupe des symplectomor-phismes. Au sens de Klein, la mécanique retrouve, et renouvelle significativement, sa géométrie perdue. Les groupes d'Aristote, de Galilée et de Poincaré, qui définissent les trois relativités mécaniques évoquées plus haut, apparaissent alors comme des constituants de cette nouvelle géométrie, sans qu'il soit nécessaire de recourir aux catégories abandonnées de temps et d'espace. C'est de ces questions que nous discuterons et de la contribution moderne de J.-M. Souriau dans l'élaboration de ce nouveau cadre formel, particulièrement grâce au traitement des symétries et aux exigences de principe de la mécanique quantique. Nous montrerons encore qu'en généralisant la notion d'application moment à tout le groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une 2-formes fermée, dans le cadre difféologique, on retrouve la dynamique du système comme les caractéristiques de cette application, c'est-à-dire comme les composantes connexes des préimages de ses valeurs. Finalement, le groupe exprime à la fois la géométrie et la dynamique. Patrick Iglesias-Zemmour Rehovot, Mars 2010

La conférence est au format Keynote ‘09. Vous pouvez télécharger le logiciel de pré-sentation sur le site d’Apple, il est gratuit en mode essai pour 30 jours. Il continue de lire les fichiers une fois les 30 jours écoulés.
(update Apr 5, 2010)

La présentation Keynote
Le logiciel Keynote à télécharger
Le papier qui en est sorti...